导数的定义：设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\triangle x$（点$x+\triangle x$仍在该邻域内）时，若存在极限
\begin{align}
f’(x_0)=\lim_{\triangle x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}
\end{align}
我们称函数$f(x)$在$x_0$处可导，且导数为$f’(x_0)$。
方向导数的定义：如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微，那么函数在该点沿任一方向$\overrightarrow{\ell}$方向的方向导数存在，且有
\begin{align}
\left.\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{\ell} }\right|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha+f_y(x_0,y_0)\cos \beta
\end{align}
其中$\cos \alpha$和$\cos \beta$是方向$\overrightarrow{\ell}$的方向余弦。
梯度的定义： 二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的梯度定义为
\begin{align}
\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\overrightarrow{i}+f_y(x_0,y_0)\overrightarrow{j}
\end{align}
Remarks:
- 导数是一元函数所特有的概念。对于多元函数，有偏导数概念。
- 方向导数是数值概念，没有方向。
- 梯度的模值等于最大的方向导数。
- 梯度有大小也有方向。