条件概率与条件均值

笔者在研究室内定位算法的过程中,有一些论文出现了条件均值。比如$x\sim f(x)$,那么该变量的均值为
\begin{align}
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty }^{+\infty }xf(x)\text{d}x
\end{align}
现在需要求解$E\left[ X|x>a \right]$。我们将条件均值进行展开
\begin{align}
\mathbb{E}\left[ X|x>a \right]=\int_{-\infty }^{+\infty }xf(x|x>a)\text{d}x
\end{align}
从公式中可以看出,欲求条件均值,需要先得到条件概率密度。我们可以通过如下公式,得到条件概率
\begin{align}
f(x|x>a)=\frac{f(x)}{1-F(a)}, (x>a)
\end{align}
其实,也很好理解,$f(x|x>a)$就是对$f(x)\ (x>a)$进行了比例放大,而这个放大系数就是$\frac{1}{1-F(a)}$。其中$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\text{d}t$表达累积分布函数(cumulative distribution function, CDF)

以下,给出公式具体证明
\begin{align}
f(x|x>a)=\frac{\text{d} F(x|x>a)}{\text{d}x}
\end{align}
其中
\begin{align}
F(x|x>a)=\frac{F(x,x>a)}{F(x>a)}=\frac{F(x)}{1-F(a)}, \ x>a
\end{align}
因此,有
\begin{align}
f(x|x>a)=\frac{1}{1-F(a)}\frac{\text{d} F(x) }{\text{d} x}=\frac{f(x)}{1-F(a)},\ x>a
\end{align}